Aufgaben#

Python-Pakete#

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import constants

Aufgabe 1: Plotten von Graphen#

Plotten Sie mit Python im Bereich \([0, 2\pi]\) die Graphen der Funktionen \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) und \(\sin(x)\cos(x)\).

Aufgabe 2: Graph plotten, Nullstellen, Polstellen#

  1. Zeichnen Sie die Funktion \(f(x) = e^{-x/3} + 1\) im Bereich \([-1,3]\).

  2. Wo besitzt die Funktion \(f(x)=\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}\) Nullstellen, wo Polstellen?

Aufgabe 3: Nullstellen#

Bestimmen Sie händisch die Nullstellen der Gewinnfunktion \(G_{\text{Preis}}(p) = -20p^2 + 1200p - 15000\) aus der Vorlesung, und überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit der Funktion np.roots.

Hinweis: quadratische Gleichungen

Aufgabe 4: Definitionsmenge, Wertemenge, Graph#

Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die zugehörige Wertemenge zur Funktionsgleichung \(y= \sqrt{2x + 6}\). Erstellen Sie eine Wertetabelle, und zeichnen Sie den Graphen.

Aufgabe 5: Zinseszinsrechnung#

Sie veranlagen Ihr Vermögen von \(K_0 =1000\) Euro mit einem fixen jährlichen Zinssatz von \(p=3\,\% = 0.03\).

  1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion \(K\), die jedem \(t \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\} = \mathbb{N}_0\), den Wert der Veranlagung nach \(t\) Jahren zuordnet. Warum wächst das Vermögen exponentiell?

  2. Erstellen Sie einen Plot der Funktion von \(t=0\) bis \(t=30\).

  3. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion von \(K\).

Aufgabe 6: Newtons Abkühlgesetz#

Sie stehen mit Freunden beim Weihnachtsmarkt und haben sich eine heiße Tasse Glühwein gekauft. Die Außentenperatur \(T_A\) beträgt -3 °C, der Glühwein hat anfangs eine Temperatur von \(T(0) = 70\) °C. Das Gespräch kommt auf Newtons Abkühlgesetz

\[\dot{T}(t) = -\lambda (T(t) - T_A),\]

das gemeinsam mit der Anfangsbedingung \(T(0) = 70\) °C die Temperatur \(T(t)\) zu allen späteren Zeiten \(t>0\) h bestimmt. Dabei ist \(\lambda>0\) eine Konstante, die von der Stärke der Wärmedämmung der Tasse abhängt.

  1. Formulieren Sie Newtons Abkühlgesetz in Ihren eigenen Worten.

  2. Welche Einheit hat \(\lambda\) und welche hat \(\frac{1}{\lambda}\)?

  3. Wohin tendiert die Temperatur des Glühweins für große Zeiten? Wie erkennt man das an Newtons Abkühlgesetz?

  4. Zeigen Sie, dass \(T(t) = T_A + (T(0) - T_A)e^{-\lambda t}\) die Anfangsbedingung und Newtons Abkühlgesetz erfüllt.

  5. Plotten Sie \(T(t)\) für einen plausiblen \(\lambda\) Wert über \(t\in [0, 2]\).

Aufgabe 7: Radioaktiver Zerfall#

Radiaktiver Zerfall kann durch die Funktion \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\) beschrieben werden. Dabei bezeichnet \(N(t)\) die Anzahl der zur Zeit \(t\) vorhandenen (d. h. noch nicht zerfallenen) Atome. \(N_0\) ist die Anzahl der zur Zeit \(t = 0\) vorhandenen Atome und \(\lambda > 0\) ist die dem Material eigene Zerfallskonstante, die angibt, wie schnell oder wie langsam der Stoff zerfällt.

Radium Ra\(^{226}_{88}\) hat eine Halbwertszeit von 1580 Jahren. Nach welcher Zeit liegen von diesem radioaktiven Stoff nur noch 1 % der anfänglich vorhandenen Atome vor?

Aufgabe 8: injektiv, surjektiv, bijektiv, Umkehrfunktion#

  1. Bestimmen Sie von folgenden Funktionen, ob sie injektiv, surjektiv oder bijektiv sind oder keine dieser Eigenschaften haben:

    1. \(f:(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R}: f(x) = \sin(x)\)

    2. \(f:(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to (-1, 1) : f(x) = \sin(x)\)

    3. \(f:\mathbb{R} \to [0,\infty): f(x) = x^2\)

    4. \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}: f(x) = x^3\)

    5. \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}: f(x) = x^2\)

  2. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von \(f(x) = 5e^{-\frac{x}{7}} - 2\) mit maximalem Definitionsbereich. Geben Sie diesen Definitionsbereich, einen passenden Wertebereich und die Funktionsgleichung an.

Aufgabe 9: Trigonometrische Funktionen, Strahlensatz#

Führen Sie die Argumentationen im Abschnitt “Trigonometrische Funktionen” der Vorlesung mit Hilfe des Strahlensatzes im Detail aus.

Aufgabe 10: Symmetrie von Funktionen - gerade, ungerade#

Welche der folgenden Funktionen ist gerade, ungerade oder weder noch?

  1. \(f(x)= 4x^2 - 16\)

  2. \(f(x)= \dfrac{x^3}{x^2 + 1}\)

  3. \(f(x)= \sin(x)\cos(x)\)

  4. \(f(x)= \sin(x) + \cos(x)\)

  5. \(f(x)= \dfrac{1}{x - 1}\)

Aufgabe 11: (un)gerade Funktionen#

Welche der folgenden Funktionen sind gerade, ungerade oder weder noch?

  1. \(f(x)=4\sin(2x)\)

  2. \(f(x)=\frac{x^2-1}{1+x^2}\)

  3. \(f(x)=e^{-x}\)

Aufgabe 12: (un-)gerader Anteil#

Jede Funktion \(f(x)\) lässt sich in einen geraden Anteil \(f_g(x)\) und einen ungeraden Anteil \(f_u(x)\) aufspalten:

\[\begin{split}\begin{align} f_g(x) &= \frac{1}{2}(f(x) + f(-x)) \\ f_u(x) &= \frac{1}{2}(f(x) - f(-x)) \end{align}\end{split}\]

Bestimmen Sie den geraden und den ungeraden Anteil von \(e^{x}\). Plotten Sie alle drei Funktionen. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit den Definitionen der Funktionen \(\cosh(x)\) und \(\sinh(x)\).

Aufgabe 13: Monotonieeigenschaften, Periode, gerade, ungerade#

  1. Bestimmen Sie mit Hilfe eines Plots, in welchen Intervallen das Polynom \(f(x) = 0.25x^3 + 2x^2 - 2x - 100\) welche Monotonieeigenschaften hat.

  2. Welche kleinste Periode besitzt die Funktion \(f(x) = \sin(10x) - \cos(6x)\)?

  3. Bestimmen Sie von folgenden Funktionen, ob sie gerade, ungerade oder keine dieser Eigenschaften haben:

    1. \(f(x) = -3x^2 + x^6\)

    2. \(f(x) = \frac{x^2}{\cos(x) + 1}\)

    3. \(f(x) = \tan(x)\)

    4. \(f(x) = e^x\)

Aufgabe 14: Verschieben und Skalieren von Graphen#

  1. Wie ändert sich die Funktionsgleichung \(y = x^2 - \sin(x) + 3\), wenn deren Graph um drei Einheiten in die positive \(x\)-Richtung und um zwei Einheiten in die negative \(y\)-Richtung verschoben wird?

  2. Macht es einen Unterschied, ob man \(y = x^2\) zuerst um den Faktor zwei in \(x\)-Richtung skaliert und danach drei Einheiten in die positive \(x\)-Richtung verschiebt, oder zuerst drei Einheiten in die positive \(x\)-Richtung verschiebt und danach um den Faktor zwei in \(x\)-Richtung skaliert?

Aufgabe 15: Verschieben eines Graphen#

Die Funktion \(f(x) = 2x^2 - 16x + 28.5\) entsteht durch Verschieben der Funktion \(g(x) = 2x^2\) um \(a\) Einheiten in die \(x\)-Richtung und \(b\) Einheiten in die \(y\)-Richtung.

  1. Zeichnen Sie den Graph von \(f\) im \(x\)-Intervall \([1,7]\).

  2. Berechnen Sie \(a\) und \(b\).

Aufgabe 16: geometrische Operationen am Graphen#

  1. Überprüfen Sie alle geometrische Operationen der Vorlesung am Graphen der Funktion \(f(x) = e^{-x^2}\).

  2. Welche geometrischen Operationen ändern die Symmetrie einer Funktion (gerade oder ungerade) nicht? Begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 17: Fallschirmspringen#

Beim Fallschirmspringen gilt unter der Annahme, dass der Luftwiderstand \(R\) der Fallgeschwindigkeit \(v\) proportional ist (d. h. \(R = cv\) für eine Konstante \(c\)), das folgende Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:

\[v(t)=\frac{mg}{c}(1-e^{-\frac{c}{m}t})\]

Dabei bedeuten

  • \(m\): Masse des Fallschirmspringers inkl. Fallschirm

  • \(g\): Erdbeschleunigung

  • \(c >0\): Reibungsfaktor

Aufgaben:

  1. Welche Endgeschwindigkeit \(v_{E}\) erreicht der Fallschirmspringer? Gehen Sie dafür von einer theoretisch unendlich langen Fallzeit aus.

  2. Plotten Sie das Geschwindgkeit-Zeit-Gesetz im Bereich 0 s bis 300 s. Verwenden Sie \(g = 9.81\) m/s\(^2\) , \(m = 70\) kg und \(c = 2\) Ns/m.

  3. Nach welcher Zeit \(\tau\) wird die halbe Endgeschwindigkeit erreicht? Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die ermittelte Zeit \(\tau\) in das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz einsetzen und mit der in 2. ermittelten, halbierten Geschwindigkeit vergleichen.

  4. Wird beim freien Fall der Lufwiderstand durch eine dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit proportionale Reibungskraft \(R = cv^2\) berücksichtigt, so erhält man das folgende Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

    \[v(t) = \sqrt{\frac{mg}{c}}\tanh\left(\sqrt{\frac{gc}{m}}t\right)\]

    Plotten Sie die beiden Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze in einer Grafik.

Aufgabe 18: Lösungsformel der quadratischen Gleichung#

Eine allgemeine quadratische Gleichung

\[ax^2+bx+c=0\]

mit \(a\neq 0\) kann in der folgenden Form geschrieben werden

\[x^2+px+q=0\]

mit \(p:=\frac{b}{a}\) und \(q:=\frac{c}{a}\).

Formen Sie die Gleichung \(x^2+px+q=0\) mittes Quadratischer Ergänzung um, und zeigen Sie, dass die Lösungen durch

\[x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]

gegeben sind.

Aufgabe 19: Goldener Schnitt#

In der Geomtrie, Architektur, Kunst und in vielen anderen Gebieten wird die Zahl \(\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) als Maß für Schönheit verwendet. Diese Zahl \(\Phi\) wird als Goldener Schnitt oder auch als Goldene Zahl bezeichnet.

GoldenRatio.png

(Quelle: Abbildungen)

Der goldene Schnitt wir als Teilungsverhältnis einer Streck definiert, bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil gleich dem Verhältnis des größeren zum kleineren ist .

\[\Phi:=\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\]

Ratio.png

Formen Sie diese Gleichung zu einer quadratischen Gleichung um, die nur noch \(\Phi\) als Variable enthällt, und lösen Sie die resultierende quadratische Gleichung. Zeigen Sie, dass \(\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) eine Lösung der Gleichung ist.

Aufgabe 20: Fibonacci Folge#

Aus der Fibonacci Folge lässt sich die Goldene Zahl folgern. Die Fibonacci Folge ist wie folgt definiert

\[f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}\]

mit \(f_{0} = 0\) und \(f_{1} = 1\). Die ersten Folgenglieder sind \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\).

Plotten Sie das Verhältnis \(\frac{f_{n+1}}{f_{n}}\) bis zu \(n=20\) und die Goldene Zahl in einer Abbildung. Was beobachten Sie?

Aufgabe 21: Fehlersuche 1#

Finden Sie den Fehler in der folgenden Berechnung. Welche mathematische Regel wird hier verletzt?

\[\begin{split} \begin{align} a &= b \\ a^2 &= ab\\ a^2+(a^2-2ab) &= ab+(a^2-2ab)\\ 2(a^2-ab) & =a^2-ab\\ 2 &= 1 \end{align} \end{split}\]

Aufgabe 22: Fehlersuche 2#

Finden sie den Fehler in der folgenden Rechnung. Wie kann sie korrigiert werden?

\[\begin{split} \begin{align} a &= -b \quad\text{| Quadrieren} \\ a^2 &= b^2 \quad\text{| Wurzel ziehen}\\ a &= b \end{align} \end{split}\]

Aufgabe 23: Kondensatorspannung (2 Punkte)#

Beim Aufladen eines Kondensators steigt die Kondensatorspannung \(u\) (in Volt) im Laufe der Zeit \(t\) (in Sekunden) nach dem Exponentialgesetz

\[ u(t) = 100 \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right), \text{ } t \geq 0\]

  1. Bestimmen Sie per Handrechnung die Zeitkonstate \(\tau\) aus dem Messwert \(u(2) = 80\).

  2. Plotten Sie mit Python den Spannungsverlauf im Kondensator.

  3. Welchen Endwert \(u_E\) erreicht die am Kondensator liegende Spannung? Nach welcher Zeit wird der halbe Endwert erreicht?

  4. Berechnen Sie die Kondensatorspannung zum Zeitpunkt \(t = 5s\)

Aufgabe 24: Luftdruck (2 Punkte)#

Zwischen dem Luftdruck \(p\) (in bar) und der Höhe \(h\) (gemessen in Metern über dem Meeresniveau) gilt unter der Annahme konstanter Lufttemperatur der folgende Zusammenhang:

\[p(h) = p_0e^{-\frac{h}{\alpha}}, \text{ } h \geq 0 \text{ in m}\]

Parameterwerte: Luftdruck an der Erdoberfläche \(p_0 = 1.013\) bar, \(\alpha = 7991\) m

  1. Wie groß ist der Luftdruck in 10 km Höhe?

  2. Wie muss die Bildmenge gewählt werden, damit die Funktion \(p(h)\) surjektiv ist? Ist die Funktion auch injektiv und somit bijektiv?

  3. Geben Sie, falls die Funktion invertierbar ist, die Höhe \(h\) als Funktion \(h(p)\) des Luftdruckes \(p\) an, und plotten Sie ihren Graphen mit Python.

  4. In welcher Höhe hat sich der Luftdruck halbiert?