Einführungsbeispiel optimierte Speicherbewirtschaftung
Contents
Einführungsbeispiel optimierte Speicherbewirtschaftung¶
Themenüberblick:
Allgemeine Vorgehensweise bei Optimierungsproblemen:
Konkretisieren der Fragestellung
Modellieren: Annahmen, Einheiten, Entscheidungsvariablen, Zielfunktion, Nebenbedingungen
Implementieren: Programmierumgebung, Daten, Optimieren mit Solver, grafische Darstellung der Resultate
Diskutieren: Modellierungsdefizite, Verbesserungsvorschläge
zusätzliche Unterlagen: 1_Einfuehrungsbeispiel-scan.pdf
Konkretisieren¶
Marktpreise für Strom variieren über einen Tag hinweg oft sehr stark, vgl. z. B. http://www.exaa.at. Wer elektrische Energie speichern kann, kann damit Gewinne erzielen und gleichzeitig helfen, die Netzlast auszugleichen.
Frage: Welche Energiemengen soll ein Speicherbetreiber ein- und verkaufen, sodass der maximale Gewinn erzielt wird?
Modellieren¶
Annahmen:
Zeitdauer: 1 Tag
Schrittweite: 1 Stunde
Einheiten: h, MWh, EUR
verlustloser Speicher
Entscheidungsvariablen: In jeder Stunde \(k= 1, 2, 3, ..., 24\) werden \(x_k\) MWh verkauft (Speicher -> Markt). Ein negativer Wert \(x_k\) bedeutet, dass \(-x_k\) MWh gekauft werden (Markt -> Speicher).
Zielfunktion: Tagesgewinn bzgl. stündlichen Preisen \(c_k\) EUR/MWh, Optimierungsrichtung: Maximieren
Nebenbedingungen:
Anfangswert: Energieinhalt zu Tagesanfang \(E_a\) MWh.
Endwert: Energieinhalt zu Tagesende \(E_e\) MWh.
Kapazität des Speichers: \(K\) MWh
maximale Energieflüsse in einer Stunde: \(l \leq x_k \leq u\) MWh
Formulierung als lineare Optimierung, auch lineare Programmierung oder lineares Programm (LP) genannt:
Maximiere den Gewinn \(c_1 x_1 + c_2 x_2 + \ldots + c_{24} x_{24}\), so dass
Formulierung des LP in Vektor/Matrix-Form:
Vektor der Entscheidungsvariablen:
Vektor der Zielfunktionskoeffizienten = Preisvektor:
Die Zielfunktion in Matrixform:
Die 24 Ungleichungen \(0 \leq E_a - x_1 - x_2 - x_3 \ldots - x_{n}\) entsprechen in Matrixform:
Die zweiten 24 Ungleichungen \(E_a - x_1 - x_2 - x_3 \ldots - x_{n} \leq K\) entsprechen in Matrixform:
Die 48 Ungleichungen \(l \leq x_{k} \leq u\) könnten analog in Matrixform gebracht werden. Dem von uns verwendeten Solver können allerdings solche Variablenschranken (engl. bounds) auch ohne Matrixformulierung übergeben werden.
Die Gleichung \(E_e = E_a - x_1 - x_2 - x_3 \ldots - x_{24}\) lautet in Matrixform:
Zusammenfassung:
Zielfunktion:
Ungleichungsnebenbedingungen:
Gleichungsnebenbedingungen:
Variablenschranken: \(l \leq x_{k} \leq u\)
Implementieren¶
Programmierumgebung:
Wir importieren die Funktionen der Pakete NumPy und Matplotlib, wodurch wir eine Umgebung ähnlich zu Matlab erhalten. Dies geschieht mit der magic function %pylab. Als optionalen Parameter geben wir inline an, sodass Abbildungen nicht in einem eigenen Fenster dargestellt werden.
%pylab inline
%config InlineBackend.figure_format = 'svg' # Setzt das Abbilungsdateiformat auf SVG.
%pylab is deprecated, use %matplotlib inline and import the required libraries.
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib
Daten:
Datenquelle: http://www.exaa.at Tag 2012-08-18
times = arange(1, 25)
if False: # Quelle: http://www.exaa.at, Tag 2012-08-18
prices = array([46.50, 43.18, 38.29, 37.40, 37.40, 37.40,
39.32, 42.14, 44.43, 46.93, 47.35, 47.90,
45.01, 39.97, 37.40, 37.40, 41.05, 45.27,
48.93, 50.93, 54.60, 51.86, 49.90, 45.40])
else: # Quelle: http://www.exaa.at, Tag 2016-09-19
prices = array([23.46, 22.91, 22.35, 21.91, 22.13, 23.96,
34.83, 42.24, 47.45, 46.80, 44.58, 43.56,
42.33, 39.61, 40.49, 40.49, 38.83, 42.07,
44.27, 46.68, 43.27, 36.50, 31.71, 26.29])
figure(figsize=(6,3))
plot(times, prices, 'o-r')
xlabel('Stunde')
ylabel('Preis [EUR/MWh]')
grid(True)
Optimieren:
Als LP-Solver verwenden wir die SciPy-Funktion linprog, die wir mit folgendem Befehl importieren.
from scipy.optimize import linprog
# Hilfe erhalten Sie z. B. mit dem Befehl
# help(linprog)
# z.B.: nur Minimieren von Zielfunktionen! Daher Multiplikation der Zielfunktion mit Minus eins.
E_a = 300 # Energie in MWh im Speicher zu Tagesanfang
E_e = 400 # Energie in MWh im Speicher zu Tagesende
K = 1000 # Speicherkapazität in MWh
u = 100 # obere Schranke für x_k
l = -100 # untere Schranke für x_k
c = -prices
M = tril( ones((24, 24)) )
A = vstack((M, -M))
b1 = E_a*ones((24, 1))
b2 = (K - E_a)*ones((24, 1))
b = vstack((b1, b2))
G = ones((1, 24))
h = E_a - E_e
print(A)
[[ 1. 0. 0. ... 0. 0. 0.]
[ 1. 1. 0. ... 0. 0. 0.]
[ 1. 1. 1. ... 0. 0. 0.]
...
[-1. -1. -1. ... -1. -0. -0.]
[-1. -1. -1. ... -1. -1. -0.]
[-1. -1. -1. ... -1. -1. -1.]]
res = linprog(c, # Zielfunktion, die minimiert wird
A_ub=A, b_ub=b, # Nebenbedingungen: Ungleichungen <=
A_eq=G, b_eq=h, # Nebenbedingungen: Gleichungen =
bounds=(l, u), # Nebenbedingungen: Variablenschranken l <= x_n <= u
options={"disp": True} # print convergence messages
)
Primal Feasibility Dual Feasibility Duality Gap Step Path Parameter Objective
1.0 1.0 1.0 - 1.0 86003.28
0.1628307585706 0.1628307585706 0.1628307585709 0.8436906191516 0.1628307585706 84887.39099388
0.01086501421446 0.01086501421446 0.01086501421444 0.9421016354771 0.01086501421446 66181.4667506
0.002173658961997 0.002173658961997 0.002173658961993 0.8180069934505 0.002173658961997 28953.78126987
0.0004172624063258 0.0004172624063258 0.0004172624063251 0.8217518550582 0.0004172624063258 -2210.43533892
9.503767588863e-05 9.503767588862e-05 9.503767588852e-05 0.7809616778427 9.503767588842e-05 -11020.24839691
5.466360824064e-06 5.466360824084e-06 5.466360824063e-06 0.9501019466175 5.466360824473e-06 -13751.69747542
4.038328130088e-10 4.038328156973e-10 4.03832753282e-10 0.999927421692 4.038327151158e-10 -13924.98719297
Optimization terminated successfully.
Current function value: -13924.987193
Iterations: 7
Resultate:
Zahlenwerte der optimalen Entscheidungsvariablen und des optimalen Zielfunktionswertes.
print(res)
con: array([0.00027058])
fun: -13924.987192970459
message: 'Optimization terminated successfully.'
nit: 7
slack: array([3.99999998e+02, 4.99999996e+02, 5.99999994e+02, 6.99999991e+02,
7.99999989e+02, 8.99999986e+02, 9.99999969e+02, 9.00000035e+02,
8.00000064e+02, 7.00000093e+02, 6.00000126e+02, 5.00000159e+02,
4.00000201e+02, 5.00000189e+02, 4.50031817e+02, 4.00000187e+02,
5.00000137e+02, 4.00000186e+02, 3.00000218e+02, 2.00000248e+02,
1.00000285e+02, 2.00000280e+02, 3.00000273e+02, 4.00000271e+02,
6.00000002e+02, 5.00000004e+02, 4.00000006e+02, 3.00000009e+02,
2.00000011e+02, 1.00000014e+02, 3.06747889e-05, 9.99999650e+01,
1.99999936e+02, 2.99999907e+02, 3.99999874e+02, 4.99999841e+02,
5.99999799e+02, 4.99999811e+02, 5.49968183e+02, 5.99999813e+02,
4.99999863e+02, 5.99999814e+02, 6.99999782e+02, 7.99999752e+02,
8.99999715e+02, 7.99999720e+02, 6.99999727e+02, 5.99999729e+02])
status: 0
success: True
x: array([-99.99999795, -99.99999793, -99.99999782, -99.99999764,
-99.99999747, -99.99999693, -99.99998358, 99.99993434,
99.99997141, 99.99997039, 99.99996741, 99.99996631,
99.99995836, -99.99998802, 49.96837259, 50.03162919,
-99.99995002, 99.99995129, 99.99996761, 99.99997064,
99.9999628 , -99.99999471, -99.99999318, -99.99999766])
optimale Entscheidungsvariablen:
res['x']
array([-99.99999795, -99.99999793, -99.99999782, -99.99999764,
-99.99999747, -99.99999693, -99.99998358, 99.99993434,
99.99997141, 99.99997039, 99.99996741, 99.99996631,
99.99995836, -99.99998802, 49.96837259, 50.03162919,
-99.99995002, 99.99995129, 99.99996761, 99.99997064,
99.9999628 , -99.99999471, -99.99999318, -99.99999766])
print("Maximaler Gewinn = %.2f EUR" %(-res['fun']))
Maximaler Gewinn = 13924.99 EUR
Graphische Darstellung:
Entscheidungen und zugehöriger Speicherstand über der Zeit
# sns.reset_orig()
x = res['x']
figure(figsize=(7,3))
plot(times, prices,'o-r')
xlabel('Stunde')
ylabel('Preis [EUR/MWh]')
grid(True)
figure(figsize=(7,3))
plot(times, E_a - cumsum(x),'o-b', label= 'Speicherstand')
plot(times, x,'o-k', label= 'Entscheidung')
xlabel('Stunde')
ylabel('MWh')
legend(loc='best')
grid(True)
Diskutieren¶
Kritische Reflexion über
Modellierungsdefizite:
Technik: Wirkungsgrad nicht modelliert.
Wirtschaft:
Feedback auf den Marktpreis, wenn viele Speicherbetreiber teilnehmen.
Vorhersehbarkeit der Preise nicht immer gegeben.
Verbesserungsvorschläge:
Auswertung über ein Jahr statt nur einen Tag wäre deutlich aussagekräftiger.
Nächste Schritte und Fragen:
Wirkungsgrade für das Speichern von Energie einbauen.
Welche Features würden das Modell zu einem nicht-linearen machen?
Kann man Gleichungen zu Ungleichungen machen und umgekehrt?
Wie Stochastik einbauen?