Integralsätze - Übungen¶

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Aufgaben¶

Aufgabe IS1: Mehrfachintegrale¶

Berechnen Sie die folgenden Mehrfachintegrale. Skizzieren Sie jeweils den Integrationsbereich.

\(\int_{x=0}^1 \int_{y=1}^e \frac{x^2}{y} \, \text{d}y\, \text{d}x\)
\(\int_{x=0}^1 \int_{y=-1}^4 \int_{z=0}^\pi x^2y\cos(yz) \, \text{d}z\, \text{d}y\, \text{d}x\)

Aufgabe IS2: Kugelkoordinaten¶

Die Kugelkoordinaten \(r, \theta, \varphi\) sind definiert durch:

\[\begin{split}\begin{align} x &= r \sin \theta \cos \varphi \\ y &= r \sin \theta \sin \varphi \\ z &= r \cos \theta \end{align}\end{split}\]

Erklären Sie geometrisch die Bedeutung der Kugelkoordinaten und ihre Wertebereiche.
Verwenden Sie die Regel von Sarrus

\[\begin{split}\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11} a_{22} a_{33} +a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32},\end{split}\]

um zu zeigen, dass das Volumenelement in Kugelkoordinaten durch \(\text{d}V = r^2 \sin(\theta) \,\text{d}r \,\text{d}\theta \,\text{d}\varphi\) gegeben ist. 3. Berechnen Sie in Kugelkoordinaten das Volumen einer Kugel mit Radius \(R\).

Aufgabe IS3: Satz von Gauss¶

Ein um die \(z\)-Achse drehsymmetrischer Zylinder hat seine Bodenfläche in der \(x\)-\(y\)-Ebene, einen Radius von 3 und eine Höhe von 2. Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes \(\vec{F}(x,y,z)= \begin{pmatrix} x^2 \\ -x \\ z^2 \end{pmatrix}\) durch die geschlossene Oberfläche

mittels Oberflächenintegralen,
über den Satz von Gauß.

Quelle: Papula, Band 3, Kapitel I Vektoranalysis, Übungsaufgaben zu Abschnitt 9, Aufgabe 2

Aufgabe IS4: Satz von Stokes¶

Die Halbkugeloberfläche \(A\) sei gegeben durch \(x^2 + y^2 + z^2 = 4, z\geq0\). Sie ist umrandet vom Kreis in der \(x\)-\(y\)-Ebene mit Radius 2 und Mittelpunkt im Ursprung. Berechnen Sie den Wirbelfluss \(\iint_A \text{rot}(\vec{F}) \cdot\text{d}\vec{A}\) für das Vektorfeld \(\vec{F}(x,y,z)= \begin{pmatrix} -y^3 \\ yz^2 \\ y^2z \end{pmatrix}\)

direkt über Kugelkoordinaten,
über den Satz von Stokes.

Quelle: Papula, Band 3, Kapitel I Vektoranalysis, Übungsaufgaben zu Abschnitt 9, Aufgabe 6

Aufgabe IS5: Fluss eines Vektorfeldes¶

Wir betrachten die Oberfläche des Körpers, der durch die Ungleichungen \(x^2 + y^2 \leq 1\) und \(-1 \leq z \leq 1\) definiert ist.

Skizzieren Sie die Oberfläche des Körpes.
Berechnen Sie auf eine möglichst effiziente Art den Fluss des Vektorfeldes \(F(x,y,z)= \begin{pmatrix} xy^2 \\ x^2y \\ y \end{pmatrix}\) durch die Oberfläche.

Quelle: Marsden, Tromba, Weinstein: Basic Multivariable Calculus, Section 7.3, Example 2, p. 447f.

Aufgabe IS6: Fluss eines Vektorfeldes auf zwei Arten¶

Gegeben ist das Vektorfeld \(F(x,y,z)= \begin{pmatrix} z \\ 0 \\ -3yz \end{pmatrix}\). Weiters sei \(A\) die Oberfläche jenes Halbzylinders mit der \(z\)-Achse als Drechachse, der in den positiven \(x\)-Bereich rangt, Höhe \(H = 4\) und Radius \(R = 3\) hat und dessen Grundfläche in der \(xy\)-Ebene liegt.

Berechnen Sie den Fluß des Vektorfelds \(F\) durch \(A\) mittels eines Volumenintegrals.
Berechnen Sie den Fluß des Vektorfelds \(F\) durch \(A\) mittels Oberflächenintegralen.

Aufgabe IS7: Doppelintegral, Polarkoordinaten¶

Ein ebenes Material hat die Massendichte \(\rho(x,y)= \sqrt{x^2 + y^2}\) in den kartesichen Koordinaten \((x,y)\). Bestimmen Sie die Masse in der oberen Hälfte des Einheitskreises mit Hilfe von Polarkoordinaten.

Aufgabe IS8: Dreifachintegral¶

Berechnen Sie \(\iiint_B (z^2x^2 + z^2y^2) \,\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z\), wobei \(B\) den Bereich \(x^2 + y^2 \leq 1\), \(-1 \leq z \leq 1\) bezeichnet. Erstellen Sie zuerst eine Skizze und verwenden Sie angepasste Koordinaten.

Quelle: Marsden, Tromba, Weinstein: Basic Multivariable Calculus. Example 6, S. 325f.

Aufgabe IS9: Fluss eines Vektorfeldes¶

Gegeben ist das Vektorfeld \(F(x,y,z)= \begin{pmatrix} 2x\\2y\\2z\end{pmatrix}\).

Skizzieren Sie das Vektorfeld.
Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes durch die Oberfläche der Kugel mit Radius eins und Mittelpunkt im Ursprung auf zwei Arten.

Marsden, Weinstein: Calculus III. Example 4, S. 929.

Lösungen¶

Lösung IS1: Mehrfachintegrale¶

Siehe IS1.jpg.

\(\frac{1}{3}\)
\(-\frac{2}{3\pi}\)

Lösung IS2: Kugelkoordinaten¶

Siehe z. B. Wikipedia - Kugelkoordinaten
Die Jacobimatrix \(\begin{pmatrix} \sin\theta \cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\theta \sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{pmatrix}\) hat die Determinante \(r^2\sin\theta\). Daher ist \(\text{d}V = r^2 \sin(\theta) \,\text{d}r \,\text{d}\theta \,\text{d}\varphi\).
\(\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^R r^2 \sin(\theta) \,\text{d}r \,\text{d}\theta \,\text{d}\varphi = \ldots = \frac{4\pi}{3}R^3\)

Lösung IS3: Satz von Gauss¶

Siehe IS3.jpg.

Mantelfläche: 0, Decke: \(36\pi\), Boden: 0, Summe: \(36\pi\)
\(36\pi\)

fig = figure(figsize=(6,6))
ax = fig.gca(projection='3d')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
xlim(-4, 4)
ylim(-4, 4)

# Zylinder:
x= linspace(-3, 3, 100)
z= linspace( 0, 2, 100)
Xc, Zc = meshgrid(x, z)
Yc = sqrt(9 - Xc**2)

ax.plot_surface(Xc,  Yc, Zc, alpha=0.5)
ax.plot_surface(Xc, -Yc, Zc, alpha=0.5)

# Vektorfeld:
x = arange(-4, 4  , 1  )
y = arange(-4, 4  , 1  )
z = arange( 0, 2.5, 0.5)
x_, y_, z_ = meshgrid(x, y, z)

Fx = x_**2
Fy =  -x_
Fz = z_**2

ax.quiver(x_, y_, z_, Fx, Fy, Fz, pivot='tail', length=0.1, alpha=0.75)
grid(False)

Lösung IS4: Satz von Stokes¶

Siehe IS4.jpg.

\(12\pi\)
\(12\pi\)

Lösung IS5: Fluss eines Vektorfeldes¶

Siehe IS5.jpg, IS5_a.jpg, IS5_b.jpg.

Ergebnis: \(\pi\)

Lösung IS6: Fluss eines Vektorfeldes auf zwei Arten¶

Siehe IS6.jpg.

Ergebnis: 0

Lösung IS7: Doppelintegral, Polarkoordinaten¶

In Polarkoordinaten ist \(\rho(x,y)= \sqrt{x^2 + y^2} = r\). Die Masse ist \(M = \int_{\varphi=0}^{\pi} \int_{r=0}^1 r r \,\text{d}r\,\text{d}\varphi = \frac{\pi}{3}\).

Lösung IS8: Dreifachintegral¶

Siehe IS7.jpg.

Verwende Zylinderkoordninaten. Ergebnis: \(\frac{\pi}{3}\)

Lösung IS9: Fluss eines Vektorfeldes¶

Siehe IS9.jpg.

Ergebnis: \(8\pi\)

Kurztestfragen¶

Berechnen Sie das Doppelintegral \(\int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=x}3x\,\text{d}y \,\text{d}x.\)
Beschreiben Sie die Vorgehensweise bei der Berechnung eines Oberflächenintegrals.
Berechnen Sie das Doppelintegral \(\int_{x=1}^{x=2} \int_{y=0}^{y=1}y - 3x\,\text{d}y \,\text{d}x.\)
Berechnen Sie das Doppelintegral \(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} \int_{r=0}^{r=R} r\,\text{d}r \,\text{d}\varphi.\)
Beschreiben Sie die Vorgehensweise zur Berechnung der Masse eines Körpers in Kugelkoordinaten.
Berechnen Sie das Doppelintegral \(\int_{\varphi=-\pi/2}^{\varphi=\pi/2} \int_{r=1}^{r=3} \cos(\varphi) \,\text{d}r \,\text{d}\varphi.\)
Beschreiben Sie den Satz von Gauß \(\iint\limits_{\text{Oberfläche}} F \cdot \text{d}A = \iiint\limits_{\text{Volumen}} \text{div}(F) \,\text{d}V\) in Ihren eigenen Worten, ohne die Formel “herunterszusagen”.
Berechnen Sie das Doppelintegral \(\int_{x=-1}^{x=2} \int_{y=0}^{y=3} 6xy^2\,\text{d}y \,\text{d}x.\)
Beschreiben Sie den Satz von Stokes \(\int\limits_{\text{Randkurve}} F \cdot \text{d}s = \iint\limits_{\text{Oberfläche}} \text{rot}(F)\cdot\,\text{d}A\) in Ihren eigenen Worten, ohne die Formel “herunterszusagen”.
Wie kann der Normalvektor auf eine Oberfläche, gegeben durch \(X(u,v)=\left(\begin{array}{c} x (u,v) \\ y (u,v) \\ z (u,v) \end{array}\right)\) an der Stelle \((u,v)\) berechnet werden?
Berechnen Sie das Doppelintegral \(\int_{0}^{\pi/2}\int_{2}^{4} -r^3 \cos(\varphi) \,\text{d}r \,\text{d}\varphi\). Skizzieren Sie auch den Integrationsbereich im \(r\)-\(\varphi\) Koordinatensystem.
Beschreiben Sie in eigenen Worten den Integralsatz von Gauß.
Die Parametrisierung eines Raumpunktes in Kugelkoordinaten lautet \(\left(\begin{array}{c} r \sin(\theta) \cos(\varphi) \\ r \sin(\theta) \sin(\varphi) \\ r \cos(\theta) \end{array}\right)\). Parametrisieren Sie damit eine Halbkugeloberfläche vom Radius 5 mit Grundfläche in der \(x\)-\(y\) Ebene und Ausdehnung in positiver \(z\)-Richtung. Geben Sie die Wertebereiche der Parameter \(\theta\) und \(\varphi\) an.
Verwenden Sie Zylinderkoordinaten, um das Volumen eines um die \(z\)-Achse drehsymmetrischen Zylinders mit Radius 2 und Höhe 3 gemäß \(\iiint \,\text{d}x \,\text{d}y \,\text{d}z\) zu berechnen.
Mithilfe des Integralsatzes von Stokes soll der Wirbelfluss des Vektorfelds \(F(x,y,z) = \left(\begin{array}{c} -y \\ x \\ xz^2 \end{array}\right)\) durch die Deckfläche des abgebildeten Zylinders, dessen Grundfläche in der \(x\)-\(y\) Ebene liegt, berechnet werden. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
1. Parametrisieren Sie die Randkurve \(c=\left(\begin{array}{c} x(\varphi) \\ y(\varphi) \\ z(\varphi) \end{array}\right)\) der Deckfläche. Geben Sie auch den Wertebereich von \(\varphi\) an.
2. Berechnen Sie die Ableitung \(\text{d}c/\text{d}\varphi = \left(\begin{array}{c} \text{d}x/\text{d}\varphi \\ \text{d}y/\text{d}\varphi \\ \text{d}z/\text{d}\varphi \end{array}\right)\).
3. Berechnen Sie den Wirbelfluss des Vektorfelds anhand des Kurvenintegrals \(\int_c \mathbf{F} \cdot \text{d}c/\text{d}\varphi \cdot \text{d}\varphi\).
4. Über welches Integral könnten Sie den Wirbelfluss des Vektorfelds durch die Deckfläche des Zylinders noch berechnen?.

Angewandte Mathematik

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